《高等数学 上》  第27讲

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《高等数学》听课笔记:27

  拉格朗日中值定理

定义

如果函数f(x)在(a,b)上可导,[a,b]上连续,则必有一ξ∈[a,b]使得f'(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)示意图
令f(x)为y,所以该公式可写成△y=f'(x+θ△x)*△x (0<θ<1)

定理内容

  若函数f(x)在区间[a,b]满足以下条件:   (1)在[a,b]连续   (2)在(a,b)可导则在(a,b)中至少存在一点c使f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a) a

证明

 把定理里面的c换成x再不定积分得原函数f(x)={[f(b)-f(a)]/(b-a)}x.   做辅助函数G(x)=f(x)-{[f(b)-f(a)]/(b-a)}x.   易证明此函数在该区间满足条件:   1.G(a)=G(b);

2.G(x)在[a,b]连续;   

3.G(x)在(a,b)可导.   

几何意义 

   若连续曲线y=f(x)在A(a,f(a)),B(b,f(b))两点间的每一点处都有不垂直于x轴的切线,则曲线在A,B间至少存在一点P(c,f(c)),使得该曲线在P点的切线与割线AB平行.

本笔记由 莫_咩 编写。并且被奖励 4家币

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